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2009年 07月 01日
先日トレースした、Benford則を拡張することで素数とRiemannζ関数の桁分布を説明しようという論文を読む続きである。前のエントリはここ。
Primes and Benford's law http://kashino.exblog.jp/8338441/ 論文はここ。 The first digit frequencies of primes and Riemann zeta zeros tend to uniformity following a size-dependent generalized Benford's law Authors: Bartolo Luque, Lucas Lacasa http://arxiv.org/abs/0811.3302 前回は素数の先頭からk番目の桁の分布を拡張一般化Benford則で説明したが、今度は非自明なRiemannζ関数の零点の桁がどうなっているかを調べる。具体的にはRiemannζ関数零点について、虚数パートの整数部分の最初の桁の分布がどうなっているかを現象論的にシミュレーションする。 ここで用いる拡張一般化Benfordの法則は、というプラスのPower law型の分布から導出されるものである。ちなみに、前回の素数の桁分布には、というマイナスのPower law型のものをもちいた。このプラスのPower law型の分布から導出される拡張一般化Benford則は次のようになる。 ここでのは前回と同様のフリーパラメータでこれを調整して、理論値との合致を行う。 Rimeannζ関数の零点についてはMathematicaは組み込み関数ZetaZero[]を持っているので、これをそのまま素直に使う。ZetaZeroの虚数パートをとった上に、更に整数部分だけを残して桁取りを行う。あとは以前のコードと変わらない。コードは以下の通り。 a = 2.92として、頭から10142個のζ関数の零点について、k=1として先頭桁だけとった分布をプロットすると次のようになる。青紫の点が実際にカウントしたもので、赤紫が拡張一般化Benford則である。 プロットをみるとわかるように、かなりドンピシャであることがわかる。このように、拡張一般化Benford則は、前回のような素数の桁分布もよく説明できるし、Riemannζ関数の先頭桁分布もよく説明できることがわかる。 論文はこの後にこの一致度合いの統計的な評価を行い、最後になぜこのような現象が起きるかの考察を行っている。それによると、Riemannζ関数の非自明な零点分布を明示的に与えるVon Mangoldの明示公式を持ってきて、それにPower law近似を施すと拡張一般化Benford則と同じ形になるからだ、と主張している。 スゲエ面白すぎだ。
by yutakashino
| 2009-07-01 20:36
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