Riemann予想：Montgomery Odlyzko's law

課外活動に関して。ここ数週間は数理疫学の学習を中断して、Riemann Hypothesisをめぐるトライアルを再現しようとしている。ここでは、Montgomery-Odlyzkoの法則が納得できたので、そのメモを残す。ちなみに、このエントリは数式を多用するのだが、一般的なRSS Readerは速度優先の実装のためにリンク先画像をネグレクトする。そのためにRSS Readerで見ると、数式部分は全く見えなくなる。ということは、数式が見えないために書いてある内容が全く分けがわからなくなるのだが、これに対してはオリジナルのエントリを閲覧するということで、ご容赦を。

注意しなければならないのは、ここで二対相関関数が出てくるが、これはいわゆる統計物理学や宇宙物理学に出てくる二対相関関数を利用して計算しようとするとハマルということだ。それが用いられる文脈と定義が異なるからだ。自分の昔の研究では二対相関関数を多用していたために、定義違いに気づかず10日くらい身動きがとれなくなった。

Riemann Hypothesisが成立していることを仮定すると、Hugh Montgomeryが1973年にζの非自明な零点の「対相関」分布がある法則に従っている予想を立てた。このMontgomery対相関分布予想を数値計算により確認したのがAndrew Odlyzkoであり、そのOdlyzkoの方法を実際の数値計算で追体験する、というのがこのエントリの目的である。参考にした論文はこれ："On the distribution of spacings between zeros of the zeta function"。

まず非自明な零点とその隣の零点の距離を以下のように定める。



するとMontgomeryの立てた予想は次のように表される。



ここではナンバーカウントの関数であり、Nは任意の正の整数である。上式は何をいっているかというと次の通りである。が非自明な零点のn+1番目とn番目の距離を表すから、はn番目の零点と任意の零点との距離を表す。すると範囲に収まっている任意の零点間の個数が、同じ区間における以下の関数の積分と等しいということである。これがMontgomeryの対相関予想である。



さて、この予想が正しいかどうかを数値計算により確かめる。ここからはOdlyzkoの論文に書かれている通りに手順を進めると、うまい具合に結果を再現することができる。

まずナンバーカウントを行うビンを以下ので区切る。



これによりナンバーカウントのx座標は、となる。これに零点を100,000個生成し、以下の二対相関密度を計算する。



とあるスケーリングファクターは、という範囲が60個のビンで分けられ、個のデータポイントを利用することから出て行くる（ナンバーカウントをプロットするときの超基本)。この二対相関密度が、二対相関予想の個数密度と等しいかどうかを検証してみるのだ。

コーディングは次のようになる。まず、隣接距離の定義から。

delta[n_] :=
Module[{a, b, ia, ib}, a = ZetaZero[n]; b = ZetaZero[n + 1];
ia = Im[a]; ib = Im[b];
(ib - ia) Log[ia/(2 Pi)]/(2 Pi) // N]

ZetaZero[n]は、n番目のζ関数の非自明な零点である。これを個の隣接距離を計算する。と、簡単に書いたのだが、この計算が結構大変だった。だいたい60時間くらいかかったかな。もう少し工夫すれば、これの半分くらいの時間には出来たと思うのだけれど、最初の方針の見通しが甘かった。でももう出来たからヨシとする。

dd = Map[delta[#] &, Table[i, {i, 10^5}]];

次に個数密度の計算



である。これは要するに範囲をずらしながら隣接距離の和をとればいいだけだ。

OdlyzkoCountList[x_, thresh_] :=
Module[{y, lenx, i, j}, lenx = Length[x];
res = {};
For[i = 1, i < lenx, i++, y = 0;
For[j = i, j < lenx, j++, y = y + x[[j]];
If[y > thresh, Break[]];
AppendTo[res, y];]];
res]

ここで一工夫したのは、すべてのずれを計算するのではなく、あるスレッシュフォールドthreshまでの計算だけにとどめて、計算時間を少なくしていることくらいだ。

最後に、プロットするべき(x,y)点は次のようになる。

x = Drop[Table[i + 0.025, {i, 0, 3, 0.05}], -1];
y = 20/10^5 BinCounts[OdlyzkoCountList[dd, 3], {0, 3, 0.05}];

BinCounts[ ] はビンの範囲に入る値を数える組込関数である。(x, y)が取得できたので、これをプロットする。プロットはMontgomeryの対相関予想の結果であると同時にプロットする。

Show[Plot[1 - (Sin[Pi x]/(Pi x))^2, {x, 0, 3}],
ListPlot[Transpose[{x, y}]], PlotRange -> All]

この結果が次のようになる。



上のプロットを見るとわかるように、Riemann予想が正しいと仮定すると、Montgomeryの対相関予想は数値計算を行う限りかなりうまく説明できることがわかる。この結果は1番目から番目までの零点を用いているが、最初の変曲点で若干予想と数値計算のずれが出ていることがわかる。Odｌyzkoの論文にはからまでの結果もプロットしてあり、それだとまさにドンピシャの結果となっている。

このようにMontgomeryの対相関予想は、厳密には証明されていないのだけれど、Odlyzkoの数値計算を通じてわかるように、Riemannのζ関数の零点の統計的な分布具合を正しく再現している蓋然性が非常に高い。

ここで少し話題を変える。Montgomeryの対相関予想で出てきた密度関数であるが、Freeman Dysonによって物理系と関連していることが指摘されている。このあたりのMontgomeryとDysonの劇的な出会いの話は一般向けのζ関数文献に詳しく描かれている。

今、ある行列をハミルトニアンとする量子力学系の位相空間に確率測度が与えられたとする。この位相空間はアンサンブルと呼ばれるが、このアンサンブルのハミルトニアン行列がガウシアンでユニタリ形式をみたす場合をGUE(Gaussian Unitary Ensemble)と呼ぶ。このGUEの例としてエルミート行列を考えた場合、その固有値の距離の二対相関が、このMontgomeryの密度関数に一致するのだ。これは取りも直さず、Riemannのζ関数の零点分布はある量子力学系となんらかの関連をしているかもしれないという、ムチャクチャ面白い展開があるのだ。ただし、ζの零点と量子力学系の関連について、その後30年近く探求が続けられているのだが、未だ決定的な成果は得られていない。

今回はここまで。うん！このリプロダクションは超面白かった :-)。